sábado, diciembre 08, 2012

LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA O DE PASCAL


La distribución Geométrica o de Pascal

Algunas puntualizaciones de la definición de X:
  • Nótese que, en esta definición, condiciones independientes significa que p, la probabilidad de A, y 1 − p, la de su complementario Ac, no varían a lo largo de las sucesivas repeticiones de la experiencia.
  • Tal y como la hemos definido, X se refiere al número de lanzamientos hasta que se produce A, pero sin contabilizar el último caso en que se da A. Por dicha razón X puede tomar los valores k = 0, 1, 2, ... con probabilidad no nula.


Un ejemplo de este modelo podría ser la experiencia consistente en lanzar sucesivamente un dado regular hasta que aparezca el número 6. Si definimos la variable aleatoria X como el número de lanzamientos de un dado regular hasta que aparezca un 6, queda claro que X sigue una distribución geométrica de parámetro p = 1/6.

Preguntas: 
  • ¿A qué suceso nos referimos cuando decimos X = 0? 
Solución

Cuando decimos que X = 0 nos referimos al caso en que el 6 aparece en el primer lanzamiento. La probabilidad de que esto suceda, suponiendo un dado regular, es de 1/6:
P[X = 0] = 1/6

  • ¿Cuál es la probabilidad de que el primer 6 aparezca en el cuarto lanzamiento? 
                                                   Solución

La probabilidad de que el primer 6 aparezca en el cuarto lanzamiento corresponde a:
                     P[X = 3] = (5/6)3 ´ 1/6 = 0,0965
Fijémonos en que, si definimos A como el suceso sale un 6, la probabilidad anterior corresponde a la del suceso: {Ac Ac Ac A} (en este orden).

Propiedades del modelo Geométrico o dePascal
1) Esperanza: E(X) = (1 − p)/p
2) Varianza: V(X) = (1 − p)/p2

Publicado por MARCOS HINOJOSA HERNANDEZ en sábado, diciembre 08, 2012 4 comentarios

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

La distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x  0 \le x \le delementos de la categoría A en una muestra de n elementos de la población original.
Puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a


P(X=x)=\frac{{d \choose x}{{N-d \choose n-x}}}{{N \choose n}},
Donde N es el tamaño de población, n es el tamaño de la muestra extraída, d es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y x es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría.
La notación   hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar b elementos de un total a.

El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/03Ddistr%20Hipergeometrica.htm


Publicado por MARCOS HINOJOSA HERNANDEZ en sábado, diciembre 08, 2012 0 comentarios

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

La distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal.

El número de experimentos de Bernoulli de parámetro θ independientes realizados hasta la consecución del  k- esimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y θ. La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.
Su función de probabilidad es
\! \ b^*(x;k,\theta) = {x-1 \choose k-1}\theta^k(1-\theta)^{x-k}
para enteros x mayores o iguales que k, donde
\!{x-1 \choose k-1} = \frac{(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}.
Su media es
\!\mu = \frac{{k(1 - \theta )}}{\theta}
si se piensa en el número de fracasos únicamente y
\!\mu = \frac{{k}}{\theta}
si se cuentan también los k-1 éxitos.
Su varianza es
\!\sigma ^2 = \frac{{k(1 - \theta )}}{{\theta ^2 }}





Negative binomial.svg
Publicado por MARCOS HINOJOSA HERNANDEZ en sábado, diciembre 08, 2012 0 comentarios

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Así tiempo fijo si estos eventos ocurren con una frecuencia media conocida y son independientes del tiempo discurrido desde el último evento.
La función de masa de la distribución de Poisson es
f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!},\,\!

Donde λ es un parámetro positivo que representa la frecuencia esperada del fenómeno modelado por la distribución.
Plot of the Poisson PMF
www.youtube.com/watch?v=luEmVW_Bnn8 video

Publicado por MARCOS HINOJOSA HERNANDEZ en sábado, diciembre 08, 2012 0 comentarios

DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA

La distribución uniforme continua es una familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, tales que cada miembro de la familia, todos los intervalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, a y b, que son sus valores mínimo y máximo. La distribución es a menudo escrita en forma abreviada como U(a,b).
La función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua es:


f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & \ \ \ \mathrm{para}\ a \le x \le b, \\ \\ 0 & \mathrm{para}\ x<a\ \mathrm{o}\ x>b, \end{matrix}\right.

La función de distribución de probabilidad es:
F(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{para }x < a \\ \\ \frac{x-a}{b-a} & \ \ \ \mbox{para }a \le x < b \\ \\ 1 & \mbox{para }x \ge b \end{matrix}\right. \,\!
Publicado por MARCOS HINOJOSA HERNANDEZ en sábado, diciembre 08, 2012 0 comentarios

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

La distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal.

El número de experimentos de Bernoulli de parámetro θ independientes realizados hasta la consecución del  k- esimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y θ. La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.
Su función de probabilidad es
\! \ b^*(x;k,\theta) = {x-1 \choose k-1}\theta^k(1-\theta)^{x-k}
para enteros x mayores o iguales que k, donde
\!{x-1 \choose k-1} = \frac{(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}.
Su media es
\!\mu = \frac{{k(1 - \theta )}}{\theta}
si se piensa en el número de fracasos únicamente y
\!\mu = \frac{{k}}{\theta}
si se cuentan también los k-1 éxitos.
Su varianza es
\!\sigma ^2 = \frac{{k(1 - \theta )}}{{\theta ^2 }}
en ambos casos.
Archivo:Negative binomial.svg
Publicado por MARCOS HINOJOSA HERNANDEZ en sábado, diciembre 08, 2012 0 comentarios

ESPERANZA (MEDIA O VALOR ESPERADO) DE UNA VARIABLE ALEATORIA

La esperanza es un parámetro de la distribución. Es una medida de tendencia central.
Si X es una variable aleatoria discreta:
E(X) = xi.p(xi)
Si X es una variable aleatoria continúa:
E(X) = x.f(x).dx
La esperanza E(x) no es un resultado que esperaríamos cuando X se observa sólo una vez.
Pero si observáramos un gran número de observaciones independientes de X el promedio de esos resultados estará cerca de E(x).

Publicado por MARCOS HINOJOSA HERNANDEZ en sábado, diciembre 08, 2012 0 comentarios

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Y VALOR ESPERANZA

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X está caracterizada por una función f(x) que recibe el nombre de función de densidad de probabilidad. Esta función f(x) no es la misma función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

La gráfica de la función f(x) es una curva que se obtiene para un número muy grande de observaciones y para una amplitud de intervalo muy pequeña.

Esta función de densidad de probabilidad f(x) permite calcular el área bajo la curva que representa la probabilidad de que la variable aleatoria continua X tome un valor entre el intervalo donde se define la función.

Se define como tal si para cualquier intervalo de números reales [a, b] se cumple que:

De las propiedades de la función de distribución se siguen las siguientes propiedades:
  • f(x)\ge 0\; para toda x.
  • El área total encerrada bajo la curva es igual a 1:
\int_{-\infty}^\infty \,f(x)\,dx = 1
  • La probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a,b] es el área bajo la curva de la función de densidad en ese intervalo o lo que es lo mismo, la integral definida en dicho intervalo. La gráfica f(x) se conoce a veces como curva de densidad.
\Pr(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a)
Publicado por MARCOS HINOJOSA HERNANDEZ en sábado, diciembre 08, 2012 0 comentarios

VARIABLE ALEATORIA CONTNUA


Una variable aleatoria X es continua si el número de valores que puede tomar están contenidos en un intervalo (finito o infinito) de números reales. Dichos valores pueden asociarse a mediciones en una escala continua, de manera que no haya huecos o interrupciones.

En algunos casos, la variable aleatoria considerada continua en realidad es discreta, pero como el rango de todos los valores posibles es muy grande, resulta más conveniente utilizar un modelo basado en una variable aleatoria continua.
Publicado por MARCOS HINOJOSA HERNANDEZ en sábado, diciembre 08, 2012 0 comentarios

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es finito (o infinito contable).Frecuentemente el interés recae en la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor particular, para ello se requiere primero definir claramente la variable aleatoria.



{X = x} denotará el evento formado por todos los resultados para los que X = x

http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t18_variable_aleatoria_discreta.htm
Publicado por MARCOS HINOJOSA HERNANDEZ en sábado, diciembre 08, 2012 0 comentarios

viernes, diciembre 07, 2012

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA

La distribución uniforme discreta es una distribución de probabilidad que asume un número finito de valores con la misma probabilidad.


Si la distribución asume los valores reales  x_1, x_2\ldots x_n \,\! su función de probabilidad es Y su función de distribución la función escalonada

Si la distribución asume los valores reales , su función de probabilidad es
p(x_i)=\frac{1}{n} \,\!
y su función de distribución la función escalonada

F(x)=\frac{1}{n} \sum_i 1_{(-\infty,x]}(x_i)\,\!.
Su media estadística es

\mu=\sum_{i}^n x_i/n \,\!
y su varianza

\sigma^2=\sum_{i}^n (x_i-\mu)^2/n \,\!
Publicado por MARCOS HINOJOSA HERNANDEZ en viernes, diciembre 07, 2012 0 comentarios

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

La distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x  0 \le x \le d elementos de la categoría A en una muestra de n elementos de la población original.
Puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a
P(X=x)=\frac{{d \choose x}{{N-d \choose n-x}}}{{N \choose n}},
Donde N es el tamaño de población, n es el tamaño de la muestra extraída, d es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y x es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría.
La notación {a \choose b} hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar b elementos de un total a.

El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es
E[X]=\frac{nd}{N}
y su varianza,
Var[X]=\bigg(\frac{N-n}{N-1}\bigg)\bigg(\frac{nd}{N}\bigg)\bigg( 1-\frac{d}{N}\bigg).
En la fórmula anterior, definiendo
p = \frac{d}{N}
y
q = 1-p\,,
se obtiene
Var[X]=npq\frac{N-n}{N-1}.
La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.
Publicado por MARCOS HINOJOSA HERNANDEZ en viernes, diciembre 07, 2012 1 comentarios
Suscribirse a: Entradas (Atom)